La imagen que sigue la he tomado de una página interactiva que me ha gustado.
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| Orlando Camargo |
La figura que sigue representa la sección por su eje de un cono de revolución. Dentro de él hemos encajado una esfera tangente, y por fuera un toro, tangente en la misma circunferencia de contacto. Vamos a cortar el conjunto por un plano perpendicular al del corte actual que pase por el centro de la esfera y sea tangente a la circunferencia axial del toro.
El tal plano corta al cono en una elipse, a la esfera en una circunferencia máxima y al toro en una curva en forma de riñón. Las tres tienen una tangencia común, y en ese punto tienen la misma curvatura, siendo la circunferencia la osculatriz de las otras dos curvas.
En la figura que sigue, las circunferencias osculatrices de los puntos de máxima y mínima curvatura, los extremos de los ejes. El caso de la figura que antecede es el de curvatura máxima y mínimo radio.
El toro, en la posición en que le hemos dado el corte:
Hemos inscrito dos esferas tangentes al cono, ambas tangentes también al plano que corta al cono en una elipse, y vamos a demostrar que los puntos de tangencia son los focos de la elipse.
Los segmentos PF y PM son iguales, por ser ambos tangentes a la esfera mayor desde el mismo punto, y lo mismo ocurre sobre la esfera menor con PG y PL. De estas igualdades resulta que PM + PL = PF + PG. El primer miembro de la igualdad representa la distancia ML entre las circunferencias tangentes al cono, medida sobre una generatriz. El segundo la suma de distancias entre P y los puntos F y G. Para cualquier punto P de la elipse ML es constante, luego también lo es PF + PG. Entonces F y G cumplen la definición de los focos de la elipse de que la suma de distancias a todos sus puntos es constante e igual al eje mayor.
Esta es la demostración más sencilla del Teorema de Dandelin.
Y con esto finiquita este capítulo del libro de marras.
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