martes, 1 de agosto de 2017

La expresión gráfica en la ingeniería (6-d)

Esta fotografía tomada por el fotógrafo rumano Calin Stan la he tomado de Dronestagram. Es un tramo de carretera en Transilvania. Si antes la sobrevolaba el Conde Drácula ahora lo hace él con su dron, para el Proyecto Carreteras de Transilvania. 

La endiablada (o más bien diabólica) subida no admite curvas demasiado suaves. Difícil evitar cambios bruscos de radio. La pensamos como una línea, la que corresponde a su mediana, bien visible en la foto, pero la carretera, con un perfil transversal curvo, peraltes y subidas más o menos helicoidales, no es una superficie plana.

Sobre ella, cuando pintaron la mediana, podrían haber dibujado otras líneas de forma arbitraria, de manera que en cada punto las infinitas posibilidades de curvatura de esas líneas no sirven para medir la curvatura de la superficie.

El segundo premio de la categoría Naturaleza ha sido para  Calin Stan , rumano de 30 años que se dedica profesionalmente a la fotografía desde hace más de una década. La imagen, subida a  Dronestagram , está hecha sobre la carretera a Transilvania: "La Cheia DN1A, esa que, como dice la leyenda, es la que veía el Conde Drácula cuando volaba". Stan explicó a la red social que esta era la primera carretera que fotografiaba con su dron para el Proyecto Carreteras de Transilvania.

Entonces habrá que definir la curvatura de las superficies de otra forma. El procedimiento a seguir lo vimos en la entrega anterior de esta serie.

Observamos allí que en cada punto "suave" de una superficie (esto es, que no sea un vértice ni forme parte de una arista) existe un plano tangente, que, al menos en un cierto entorno, es el que mejor la aproxima. Este plano tangente define por el punto una recta normal, y cada uno de los planos que la contienen corta al plano tangente en una recta, y a la superficie en una curva tangente a ella.

Lo veremos mejor con el siguiente ejemplo, en una superficie (paraboloide hiperbólico) que hemos limitado por cuatro segmentos rectilíneos. En el punto medio de este cuadrilátero alabeado encontramos la intersección de dos rectas que unen los puntos medios de sus lados, y dos curvas parabólicas unen los vértices.

Las dos rectas definen el plano tangente, y la mitad de la superficie está por encima de él, mientras la otra mitad queda por debajo. Una de las parábolas tiene la concavidad hacia arriba; la otra hacia abajo. Diremos que sus curvaturas tienen distinto signo, y que las rectas tienen curvatura nula.

Tanto las parábolas como las rectas resultan de cortar la superficie por planos perpendiculares al plano tangente, dos de ellos por los vértices y los otros dos por los puntos medios de los bordes, Cualquier otro plano de esta familia de planos normales produce una curva con curvatura diferente. Si imaginamos el plano girando sobre la normal iremos viendo que la curvatura es máxima al pasar por un vértice, va disminuyendo, hasta anularse al llegar al punto medio del lado, cambia allí de signo y vuelve a aumentar hasta otro máximo (negativo) en el vértice siguiente, repitiendo el ciclo cuatro veces hasta volver al punto de partida.

Un punto de esta clase decimos que es hiperbólico. En estos puntos, los planos que definen las curvaturas extremas son siempre perpendiculares entre sí (planos principales), y por lo tanto forman con el plano tangente un triedro trirrectángulo.
 

Siendo la esfera, junto con el plano, la superficie más regular posible, todos sus puntos tienen las mísmas curvaturas, inversas del radio de curvatura, que es el de la esfera. Todos los planos normales son principales. En cada uno de esos puntos la intersección de los planos normales es una circunferencia máxima.

Pero si los planos se apartan de la normal, como vemos en la figura, los círculos ya son menores.


Por un punto de latitud media (pensemos en nuestro planeta) la curvatura es la misma para el meridiano y para el círculo máximo por el paralelo (el que forma la dirección este-oeste con la dirección cenit-nadir, la vertical del lugar), pero esta curvatura no es la del paralelo.


En la figura que sigue se ha representado una curva con diferentes radios y la línea que une los centros sucesivos. A menor curvatura, mayor radio. En el punto de inflexión P, en que cambia la curvatura de signo (curvatura nula) el radio es infinito.


Sobre el toro se aprecian muy bien los tres tipos de puntos.

En el punto 1 (elíptico) las curvaturas principales (la del meridiano y la que tiene la superficie en el paralelo) son distintas pero del mismo signo, y por eso decimos que el punto es elíptico (en la esfera hay una única curvatura, y el punto es circular).

En el punto 2 (parabólico) la curvatura se anula en el paralelo, y en los demás tiene el mismo signo, siendo la máxima la del meridiano.

En el punto 3 (hiperbólico) se anula en las dos direcciones en las que el plano tangente corta a la superficie, y las curvaturas extremas (principales), del meridiano y en el paralelo, tienen distinto signo.


Curvaturas en un punto circular, caso particular de punto elíptico:


La curvatura y la magnitud inversa, el radio, representada en coordenadas polares y cartesianas:


Otro punto elíptico, con curvaturas principales más acusadamente distintas:


Punto parabólico, en el que hay una direción con curvatura nula y radio infinito:


Punto hiperbólico. En este caso particular con curvaturas principales de igual magnitud y distinto signo, como el punto del paraboloide hiperbólico del comienzo de esta entrega:


Este es el caso más general de punto hiperbólico:


Otro punto hiperbólico, con curvaturas principales más acusadamente disímiles:


Concluirá el capítulo con un interesante teorema.

(para finalizarlo... y pasar a otra cosa)

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