Todo lo que tiene forma puede ser representado gráficamente
Continua y finaliza aquí el primer capítulo del libro Introducción a la expresión gráfica en la ingeniería, publicación iniciada en esta otra entrada.
A pesar de la ocasión coyuntural que lo motivó, habría querido que el libro fuera algo más que un texto para aprendices de ingeniero. Quise más que nada dar salida a ideas muy básicas sobre la representación, para entender lo que subyace en la realidad visible, en lugar de elaborar, como suele hacerse en las escuelas técnicas, y no solo para esta materia, un mero instrumento auxiliar.
¿Por qué no aprovechar el conocimiento para entender, en lugar de verlo únicamente como el mecanismo que nos ponga en condiciones de entrar, como una mercancía más, en el mundo de la producción de bienes materiales?
El conocimiento debe considerarse autotélico, aunque de él puedan obtenerse luego otras ventajas. Si no lo hacemos así estaremos siempre pendientes de recompensas futuras en lugar de llenar gozosamente el presente. Este principio no representa para mí la sola reivindicación del derecho a la pereza.
Para seguir la vía natural del conocimiento hay que satisfacer primero la curiosidad. La que es natural en el niño, la que ahogamos después con un empacho de materiales amontonados de forma aparentemente organizada, pero sin organicidad.
Por eso, teniendo en cuenta que la línea, el punto en movimiento, es la base de toda representación gráfica, sea como trayectoria o como contorno, dedico esta parte del libro a buscar la comprensión inicial de la línea como trayectoria.
Hay dos formas posibles de abordar el movimiento. Puede hacerse desde una base fija, observando desde ella al móvil, o desde éste, localizando la base fija. La base es un vector, una unidad, representada por dos puntos fijos, tomados como origen y extremo. El punto móvil X puede localizarse desde ambos, o bien puede localizarlos. Habrá entonces dos formas de definir la posición, llamadas respectivamente medida y razón simple.
Si además de la base fijamos un punto de referencia en una posición arbitraria pero fija del móvil en su trayectoria, podremos comparar su razón simple con cualquiera otra, la genérica X que representa todas las posiciones posibles. Entonces localizaremos esas posiciones sobre una base de tres puntos fijos, por medio de la llamada razón doble.
La razón doble es un invariante que localiza perfectamente al punto móvil, pero su valor depende de la posición elegida para el punto de referencia. Puede este ser exterior o interior al segmento unidad. El valor más interesante que puede tomar la razón doble es -1. Ese valor fija la posición del móvil en un lugar exacto que lo relaciona con el punto de referencia, y así se establece una relación entre cuatro puntos, que forman lo que llamamos cuaterna armónica, de tal modo que al desplazar el móvil, para mantener la relación hemos de desplazar también el punto de referencia.
La cuaterna armónica es una razón de dos razones simples. Su valor unidad significa que ambas son iguales; el signo menos, que uno de los puntos es interior al segmento unidad y el otro exterior.
Si movemos el punto de referencia hasta situarlo en el centro del segmento unidad, la razón simple que le corresponde alcanza el valor -1. Para que el otro punto tienda a valor 1, cosa necesaria para mantener la cuaterna armónica, debe desplazarse infinitamente lejos.
Hagamos corresponder a cada punto de la recta otro cualquiera. A los de la cuaterna original les corresponderán biunívocamente otros cuatro puntos, a elegir arbitrariamente. El resto de los puntos de la recta original tendrán valores de la razón doble abarcando a todos los números reales, y para cada uno de ellos habrá, con idéntico valor, otro punto en la segunda recta (que en este caso es ella misma, pero podría ser otra cualquiera).
Acabamos de establecer entre ambas rectas coincidentes una correspondencia proyectiva.
Ahora vamos a establecer la misma correspondencia, pero entre dos rectas concurrentes en un punto, P en este caso. Tomamos en ambos casos las medidas reales, de modo que se mantenga entre ambas la misma razon doble. Aunque en esta reproducción las líneas más finas apenas se perciben, hemos de entender que corresponden a las longitudes marcadas entre las puntas de flecha. Podéis comprobar, por ejemplo, que el valor numérico de la razón doble en la primera recta, (ABPQ) = [(AB/AQ)·(BQ)/BP)] coincide con el de la correspondiente razón sobre la otra.
Pero además encontramos otra coincidencia muy interesante: las rectas AA', BB', CC' y DD', prolongadas desde los segmentos que las definen, pasan todas por un punto V, vértice de una relación proyectiva entre las dos series de puntos, estableciendo la correspondencia entre todos los puntos de las dos series.
En la figura inferior, sobre una de las rectas se ha definido la cuaterna entre los puntos origen O, unidad U, medio M y el punto del infinito, o impropio, U. Al proyectarlos desde V sobre la otra recta se obtiene en ella otra cuaterna armónica. Ahora M' se acerca a U', y también I' se desplaza desde el infinito para acercarse a U'. En esta proyectividad, cuanto más cercano quede M' a uno de los extremos del segmento unidad, más se acercará I' al mismo extremo, no importa cual de ellos sea el elegido, pues no hay que olvidar que por los dos extremos de la recta se llega (es un decir) al mismo punto del infinito.
Expongo a continuación todos los casos posibles de relación proyectiva, y perspectiva, entre los puntos de dos rectas. La proyectividad puede realizarse entre paralelas y oblicuas, pero además desde un punto propio o desde uno impropio ("desde el infinito", mediante paralelas). Y en este último caso, además, la proyección puede ser perpendicular u oblicua. Según los casos, la proyección puede conservar la medida, la razón simple o proporción y, en todos los casos, la razón doble y en particular la cuaterna armónica. Naturalmente, la medida conserva las proporciones, pero no es así al contrario.
El origen y el extremo del vector unidad separan armónicamente a los otros dos puntos de la cuaterna, e igualmente están separados por ellos. Como hemos visto esos puntos pueden ser el punto medio y el del infinito, y cuando se desplazan de esas posiciones ambos se aproximan al mismo extremo del vector.
En los dos casos casos podemos considerar como vector uno u otro par sin mover los puntos, como vemos en esta figura:
Si hasta aquí se ha abordado un movimiento rectilíneo y uniforme de un punto móvil, consideremos el caso general, curvilíneo de velocidad irregular, considerando los extremos de un tramo como origen y unidad. La posición del punto la determinará un parámetro (tiempo), y en tiempos iguales los recorridos podrán ser diferentes.
Casos particulares son el movimiento uniforme sobre una curva y el rectilíneo y uniforme analizado anteriormente.
Un movimiento con cambios instantáneos de velocidad puede considerarse "catastrófico", porque la variación súbita (finita) de velocidad en tiempo nulo (infinitésimo) implica un cociente infinito entre ambos, y por lo tanto aceleración infinita. Ni siquiera los choques bruscos se producen sin una deformación que "acomoda" ese cambio. Esta continuidad de las trayectorias "reales" significa que en un entorno suficientemente pequeño de cada punto las trayectorias pueden en la práctica considerarse rectilíneas. Cualquiera que dibuje una línea y quiera cambiar la dirección en un punto sabe que debe detener el movimiento en ese punto (velocidad nula). Intentad dibujar un ángulo sin frenar la mano: por más que lo intentéis el vértice se convertirá en una curva. También por esta razón escribir muy deprisa es incompatible con una caligrafía impecable.
Esta digresión aparente viene a cuento para entender mejor el concepto de continuidad. El trozo de universo que conocemos, a la escala a que lo observamos, es continuo, y tal es el espacio que podemos imaginar y representar. Por eso una malla rectilínea es el modo más adecuado de situarnos en el plano.
Las tres figuras de la parte inferior presentan tres formas de realizar esta malla. Al vector OU sobre una recta hemos añadido otro OV. Si antes dos puntos no coincidentes definían un espacio rectilíneo de infinitos puntos más (serie rectilínea), ahora dos rectas no coincidentes más que en un punto definen todo un plano de rectas (haz de rectas). Esta malla presenta una singularidad en el punto O. Se obvia desplazándolo infinitamente lejos, y nuestro plano será uniforme (euclídeo), y en ciertas condiciones isótropo (cartesiano). Si O es un punto propio, podemos empeñarnos en tratar las rectas como uniformes (figura inferior), pero con ello distorsionaremos el plano y las rectas trazadas en la malla dejarán de serlo.
La segunda figura resuelve la conservación de las rectas sobre el plano, con la condición de respetar también la singularidad en O de OU y OV.
Si una curva genérica puede aproximarse con una sucesión de tramos rectilíneos tendencialmente infinitésimos, una aproximación mayor se logra con arcos de circunferencia. Haya o no variacion de velocidad (aceleración lineal) en la trayectoria, al pasar de un arco al siguiente habrá un brusco cambio de curvatura, que supone un súbito cambio en la aceleración transversal, constante a lo largo de cada tramo. Quienes hayan experimentado algunas atracciones de feria, como el "látigo", sabrán de lo que hablo.
Lo que deben mantener los diversos tramos circulares que aproximan una curva es la tangencia, y eso significa que los centros sucesivos estén alineados con el punto de tangencia. Cuanto menor sea el ángulo de cada arco mejor será la aproximación a una curva "suave". Las curvas de enlace, radioides, de las buenas carreteras, y sobre todo de las autopistas y los ferrocarriles, son un buen ejemplo de curvas suaves.
En una curva aproximada por arcos de circunferencia hay una sucesión de centros sucesivos. Al elegir arcos que se aproximan hasta distancias infinitesimales los centros lo harán también, trazando una línea de centros instantáneos llamada evoluta.
Si consideramos las longitudes de los arcos y los "enderezamos", sustituyéndolos por segmentos de recta de la misma longitud, los puntos que sucesivamente vamos trasladando describen curvas llamadas evolventes. Una evolvente se puede obtener ennrollando un hilo a la curva y desenrollándolo bien estirado. Cada punto va siendo sicesivamente centro de giro, y a continuación describe una nueva evolvente. Se comprende así que todas estas evolventes tengan a la curva como evoluta.
Tomando como centros puntos de la evoluta pueden obtenerse muy buenas aproximaciones de la curva. La elipse de la última figura se obtuvo con solo seis centros, y resultó práctivamente indistinguible de la verdadera elipse.
Cuando un arco de la curva se enlaza con un segmento rectilíneo, el correspondiente centro de curvatura emigra al infinito, y se habla de curvatura nula. La curvatura, también en este caso, es la magnitud inversa del radio. A menor radio, mayor curvatura, y viceversa.
The line of Beauty es una expresión de William Hogarth, con la que afirmaba la superioridad estética de la curva sobre la recta. En particular son muy bellas aquellas líneas en que se invierte la curvatura, pasando por curvatura nula al cambiar de signo su expresión numérica. La del ejemplo que sigue es algo tosca, pero desde el perfil de un cisne hasta la espalda de una diosa encontramos abundantes ejemplos.
Cuanto más puntos elijamos, mejor será la aproximación. La evoluta huye al infinito y vuelve por el otro lado.
Un ejemplo:
Los puntos elegidos para la aproximación:
Primera aproximación mediante segmentos de recta:
Aproximación por medio de arcos. Como en la imagen casi se han perdido los radios, os invito a encontrarlos. ¿En qué casos hay tangencia y en cuáles no? ¿Hay tramos rectos y centros en el infinito?
Para finalizar, una aplicación al dibujo industrial:
No quiero abandonar el tema sin un comentario final.
Como me recordó una amiga hace poco, "el conocimiento la pasión no quita", y viceversa. El análisis geométrico y aún aritmético de las formas que podemos percibir a nuestro alrededor no le sobra desde luego al técnico, pero tampoco al artista plástico, que podrá entender la sutileza de su materia prima. Si el técnico es un artista, o el artista trabaja con elementos técnicos, como ocurre en los campos de la arquitectura y el diseño, mucho mejor.
Pero también la práctica del dibujo manual, el conocimiento de las palancas óseas que movilizamos al dibujar curvas a diferentes escalas (dedos, mano, antebrazo, brazo, y si es preciso el cuerpo entero) y la comparación analítica de lo que estamos haciendo con lo que queríamos hacer, es una beneficiosa experiencia para cualquiera.
A poco que lo pensemos extenderemos esta idea de un saber holístico que no desdeña ningún conocimiento, a la música, a la danza, a las artes de la escena...
Lástima grande que esta idea esté fuera del campo visual de las autoridades educativas.
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