Hace veinticinco años, quien esto escribe decidió dar a luz cosas que desde mucho tiempo atrás le rondaban por la cabeza. Arquitecto, no sé si de escaso oficio, pero sin duda de escaso beneficio, desde varios años antes mi ocupación principal, prácticamente única, era el ejercicio como profesor de instituto en la asignatura de Dibujo.
Mis estudios habían sido largos. En aquel tiempo la carrera duraba siete años, a los que se añadía el tiempo necesario para elaborar el Proyecto Fin de Carrera. Con la promoción siguiente a la mía comenzó el llamado "Plan Ye-ye", de cinco años. Se podían completar los nuevos estudios con unos cursos de doctorado.
Los viejos arquitectos tuvimos la posibilidad de acceder al título de doctor sin más que presentar un proyecto de cierto nivel. Yo no lo hice en su momento, y años después se me ocurrió que tal vez podría "pasar a limpio" mis ocurrencias en forma de tesis. Coincidiendo en una fiesta de la patrona de los arquitectos (*), comenté la idea con el que fue luego mi director, José Antonio Franco Taboada, para saber si aún podía acogerme a elaborar una tesis sin necesidad de cursos de doctorado. Unos días después me contestó afirmativamente, pero me aconsejó presentarla en ese mismo año.
Cuando acabó el año académico me puse manos a la obra, y en tres meses la tenía armada (¡la que armé!). Me propuso entonces José Antonio que la presentara en el curso siguiente. Con un plazo mayor, dediqué mucho más tiempo a elaborar la introducción que ahora os ofrezco, y que finalmente, al tener un dudoso aparato matemático, no incluí.
Así que permanece inédita. Ya jubilado, me pesaría dejarla, como dijo Marx en una ocasión, a la crítica roedora de los ratones. Así, la entrego ahora en formato PDF a los ratones informáticos. Se dice que lo que se pone en red jamás desaparece del todo (que se lo digan a Zapata). Por eso la cuelgo aquí. Puedo prometer y prometo que podéis descargarla sin problemas.
Una vez más debo honrar el difícil trabajo mecanográfico, tradicional, de mi querida y desde luego abnegada compañera de toda la vida, Socorro Aramburu, mi Soco. Los dibujos los hice manualmente, como correspondía al tiempo y a mi ignorancia de entonces sobre la incipiente informática gráfica, disciplina hermosísima que poco tiempo después tuve que impartir en la Universidad de Vigo.
La ilustración que dejo caer más abajo forma parte de la introducción. Podéis entreteneros buscando letra a letra las conexiones, idénticas, entre los puntos de todas las figuras, y así el profano podrán iniciarse en lo que es la topología, la ciencia que estira y arruga el espacio sin romperlo ni mancharlo, logrando convertir una taza en una rosquilla, y viceversa, sin romper su continuidad.
Y otra curiosidad, para intuir el curioso concepto de dualidad geométrica. Fijaos en la ilustración de más abajo, concretamente en la última figura. Imaginad que se trata de un mapa. Las líneas de trazos significan fronteras entre países, dentro de las cuales un punto indica la capital.
Las distintas capitales están unidas por autopistas (líneas continuas) que atraviesan esas fronteras. Esto es así en el mundo de los humanos.
Imaginad ahora que unos animalillos salvajes pueblan las asilvestradas fronteras. Para ellos, esas fronteras boscosas son sus autopistas, y en cambio son difícilmente atravesables las autopistas de la civilización, que son sus fronteras. En ambos mundos hay tantas fronteras como autopistas, y tantas capitales como países.
Hemos invertido la situación. Si los puntos nodales de esa bichería podrían ser sus capitales, sus vías de comunicación serían nuestras fronteras, y sus fronteras nuestras vías de comunicación.
Esta es la dualidad en el plano. Dos espacios sobre el mismo territorio, con superficies limitadas por líneas y líneas limitadas por puntos, se superponen. Los puntos de cada espacio se corresponden exactamente (biunívocamente) con las áreas del otro, mientras que también se corresponden biunívocamente las respectivos límites, que para el otro espacio son conexiones entre puntos. La dualidad, en una superficie, hace corresponder los puntos de un espacio con las áreas del espacio dual, y viceversa, y las líneas de cada uno (fronteras) con líneas (conexiones) del otro.
Para un análisis más completo, pasando de la superficie al espacio tridimensional (y se puede ir más allá...), podeis descargar el documento. En ese caso supondremos un espacio de burbujas, limitadas por superficies a su vez limitadas entre sí por líneas, y estas limitadas por puntos.
Y no os cuento si suponemos un hiperespacio, etc. etc.
Dejémoslo ahí, por ahora.
Salud, pues, y curiosidad.
Juan José Guirado
(sigue)
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(*) Sobre santos patronos:
Nuestra Señora de Belén en su huida a Egipto es la patrona de los arquitectos, aunque más bien debiera serlo de los usuarios. Pero bueno, también es San José patrono de los ingenieros industriales, sin necesidad de estudiar la carrera. En cambio, es fama que San Teleco fue perito.
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